Iteración de punto fijo

No podemos determinar explícitamente el punto fijo en el ejemplo 2.5 debido a que no tenemos forma de resolver para $p$ en la ecuación $p=g(p)=3^{-p}$. Sin embargo, podemos determinar aproximaciones a este punto fijo con cualquier grado específico de exactitud. Ahora veremos como hacer esto.
Para aproximar el punto fijo de una fucnión $g$ escogemos una aproximación inicial $p_{0}$ y generamos la sucesión ${\{p_{n}\}}_{n=0}^{\infty}$ haciendo $p_{n} = g(p_{n-1})$ para cada $n\geq 1$. Si la sucesión converge a $p$ y si $g$ es continua, entonces:

$$p=\lim_{n\rightarrow \infty} p_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty} g(p_{n-1}) = g(\lim_{n\rightarrow \infty} p_{n-1}) = g(p)$$

y obtenemos una solución para $x=g(x)$. Ésta técnica recibe el nombre de iteración de punto fijo o iteración funcional. Este procedimiento se describe detalladamente en el algoritmo 2 y se muestra en la figura 2.6.

Figura 2.6: Iteración de punto fijo

Ejemplo 4.

La ecuación

$$x^{3}+4x^{2}-10=0$$ (2.1)

tiene una raíz única en $[1, 2]$, observe la grafica de la función en la figura 2.7.

Figura 2.7: Grafica del Ejemplo 4

Hay muchas formas para convertirla en la forma $x=g(x)$ mediante un simple manejo algebraico. Por ejemplo, si igualamos las funciones $f(x)=x^{3}+4x^{2}-10$ y $y=x$, para obtener las intersecciones que finalmente son los puntos fijos, que de manera equivalente es $g(x) = x - f(x)$ obtendríamos:

$$g(x)=x-f(x)$$

$$g(x) = x - (x^{3}+4x^{2}-10)$$

$$g(x) = x-x^{3}-4x^{2}+10$$

La cual se elige como $g_{1}(x)$.
Por otro lado, si de la ecuación 2.1 se despeja la $x$ de segundo grado se tendría:

$$x=\pm {1\over 2}(10-x^{3})^{1\over 2}$$

Esta expresión se elige como $g_{2}(x)$, cabe mencionar que nos da una solución positiva.
Finalmente para $g_{3}(x)$ se elige de la forma $g(x) = x - \displaystyle{f(x)\over f'(x)}$.
A continuación se muestran las expresiones obtenidas:

• $g_{1}(x) = x-x^{3}-4x^{2}+10$
• $g_{2}(x) = \displaystyle{{1\over 2}(10 - x^{3})^{1\over 2}}$
• $g_{3}(x) = \displaystyle{x - {x^{3}+4x^{2}-10\over 3x^{2}+8x}}$

Dado que el intervalo de solución es $[1, 2]$, tomamos $p_{0}=\displaystyle{1+2\over 2} = 1.5$ y aplicamos el algoritmo 2.

Tabla 2.1: Iteraciones del Punto Fijo para Ejemplo 4.

[gray]0.9i	$g_{1}(p_{0})$	$g_{2}(p_{0})$	$g_{3}(p_{0})$
1	-0.8750000000	-0.8750000000	-0.8750000000
2	6.7324218750	2.5304360390	1.2389878035
3	-469.7200317383	0.7750910521	1.3647334576
4	102754568.0	1.6687980890	1.3652287722
5	-1084934371998527551176704	1.2102226019	1.3652306795
6	inf	1.4446905851
7	NaN	1.3245767355
8	NaN	1.3860507011
9	NaN	1.3545730114
10	NaN	1.3706853390
11	NaN	1.3624360561
12	NaN	1.3666603565
13	NaN	1.3644964695
14	NaN	1.3656061888
15	NaN	1.3650385141
16	NaN	1.3653270006
17	NaN	1.3651808500
18	NaN	1.3652548790
19	NaN	1.3652179241
20	NaN	1.3652364016
21	NaN	1.3652271032
22	NaN	1.3652306795

La tabla 2.1 muestra las iteraciones del algoritmo del Punto Fijo para el ejemplo 4. Observando los resultados obtenidos concluimos lo siguiente:

• La función $g_{1}(x)$ diverge luego de 5 iteraciones.
• La función $g_{2}(x)$ converge a la raíz luego de 22 iteraciones.
• La función $g_{3}(x)$ converge a la raíz luego de 5 iteraciones.
• Aunque $g_{2}(x)$ y $g_{3}(x)$ convergen a la raíz, $g_{3}(x)$ necesita un número considerablemente menor de iteraciones.

Finalmente la raíz es $p=1.3652306795$.

Ejemplo 5.

Demuestre que $f(x)=4 + x - x^{2}$ tiene una raíz en el intervalo $[0, 20]$ y utlice el método de punto fijo para determinar una aproximación a la raíz que sea precisa al menos hasta $10^{-8}$.

La grafica de $f(x)=4 + x - x^{2}$ se puede ver en la figura 2.8.

Figura 2.8: Grafica del Ejemplo 5

Se puede ver que la gráfica tiene dos raíces y efectivamente una de ellas se encuentra en el intervalo dado $[0, 20]$. Resolviendo la ecuación por la formula general se obtiene:

$$x_{1,2} = {-1\pm \sqrt{1+16} \over -2} = {-1\pm \sqrt{17}\over -2}$$

$$x_{1} = {1 - \sqrt{17}\over 2} = -1.5615$$

$$x_{2} = {1 + \sqrt{17}\over 2} = 2.5615$$

Obviamente en este punto la raíz ha sido encontrada y no hay necesidad de aplicar el método del Punto Fijo, utilizamos un ejemplo sencillo y comprobable para que el método sea claro y con resultado comprobable, para posteriormente resolver raíces que no son posibles de obtener analíticamente.

El punto de partida para todos los casos es:

$$4+x-x^{2}=0$$ (2.2)

Para $g_{1}$ igualamos las funciones $f(x)=4 + x - x^{2}$ y $y=x$, para obtener las intersecciones que son los puntos fijos, obtendríamos:

$$4+x-x^{2}=x$$

$$-4+x^{2}=0$$

La cual se elige como $g_{1}(x)$.
Por otro lado, si se despeja la $x$ de segundo grado de la expresión 2.2 se tendría:

$$x=\sqrt{4+x}$$

Esta expresión se elige como $g_{2}(x)$.
Finalmente para $g_{3}(x)$ se elige de la forma $g(x) = x - \displaystyle{f(x)\over f'(x)}$.
A continuación se muestran las expresiones obtenidas:

• $g_{1}(x) = x-x^{3}-4x^{2}+10$
• $g_{2}(x) = \sqrt{4+x}$
• $g_{3}(x) = \displaystyle{x - {4+x-x^{2}\over 1-2x}}$

Dado que el intervalo de solución es $[1, 2]$, tomamos $p_{0}=\displaystyle{1+2\over 2} = 1.5$ y aplicamos el algoritmo 2 obteniendo los siguientes resultados:

• $g_{1}(x)$ diverge.
• $g_{2}(x)$ converge luego de 13 iteraciones.
• $g_{3}(x)$ converge luego de 7 iteraciones.

La raíz encontrada por el método es $p=2.5615527629852295$.

Ejemplo 5.

Utilice el método del Punto Fijo para encontrar una aproximación a la raíz de la función $f(x)=e^{x}+x$ en el intervalo $[-10, 0]$ con una precisión de al menos $10^{-8}$.
Partimos de la ecuación:

$$e^{x}+x=0$$ (2.3)

y obtenemos $g_{1}(x)$, $g_{2}(x)$ y $g_{3}(x)$ de la misma manera que en los ejemplos anteriores.

• $g_{1}(x) = -e^{x}$
• $g_{2}(x) = ln (-x)$
• $g_{3}(x) = x - \displaystyle{e^{x}+x\over e^{x}+1}$

Aplicamos el algoritmo 2 con $p_{0} = -5$ y obtenemos los siguientes resultados:

• $g_{1}(x)$ no alcanza a satisfacer la condición de la precisión en las 1000 iteraciones, pero queda muy cerca de la raíz.
• $g_{2}(x)$ diverge.
• $g_{3}(x)$ converge en 6 iteraciones.

La raíz obtenida es $p = -0.5671432614326477$.

Ejercicios de Tarea

1. En cada una de las siguientes ecuaciones utilice el intervalo dado o determine el intervalo $[a,b]$ donde la iteración de punto fijo converge. Estime el número necesario de iteraciones para obtener aproximaciones con exactitud de $10^{-5}$ y realice los calculos.
   1. $2 + sen (x) - x = 0$ y utilizar $[2,3]$
   2. $x^{3}-2x-5$ y utilizar $[2,3]$
   3. $3x^{2}-e^{x}=0$
   4. $x- cos(x) = 0$

2. Encuentre todos los ceros (raíces) de $f(x)=x^{2}+10cos (x)$ aplicando el método de iteración de punto fijo para una función de iteración apropiada $g$. Encuentre los ceros (raíces) con una exactitud de $10^{-4}$.

3. Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa y también a la fuerza de gravedad. Suponga que dejamos caer el objeto de masa $m$ desde una altura $s_{0}$ y que la altura del objeto después de $t$ segundos es:
   
   $$s(t) = s_{0} - {mg\over k}t + {m^{2}g\over k^{2}}(1-e^{-kt/m})$$
   
   
   donde $g=32.17$ pies/$s^2$ y $k$ representa el coeficiente de resistencia del aire. Suponga que $s_{0} = 300$ pies, $m=0.25$ lb y que $k=0.1$ lb-s/pies. Calcule, con una exactitud de 0.001 s, el tiempo que tarda la masa en caer al suelo.