Iteración del Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un número para el cual el valor de la función no cambia cuando ésta es aplicada.

Definición

El número $p$ es un punto fijo para una función $g$ dada, si $g(p)=p$.

En esta sección estudiaremos el problema de encontrar las soluciones de los problemas de punto fijo y la conexión entre éstos y los de búsqueda de la raíz que deseamos resolver. Los problemas de búsqueda de raíces y los de punto fijo son clases equivalentes en el siguiente sentido:

• Dado un problema de buscar $f(p)=0$, podemos definir una función $g$ con un punto fijo en $p$ de diversas formas: por ejemplo, como:
  
  $$g(x)=x-f(x)$$
  
  
  
  
  $$g(x)=x+3f(x)$$
  
  

• Por el contrario, si la función $g$ tiene un punto fijo en $p$, entonces la función definida por
  
  $$f(x)=x-g(x)$$
  
  
  tiene una raíz en $p$.

Aunque los problemas que queremos resolver vienen de la forma de búsqueda de raíces, la forma de punto fijo es más fácil de analizar, y ciertas elecciones de punto fijo dan origen a técnicas muy poderosas de búsqueda de raíces.

Ejemplo 1.

Determine todos los puntos fijos de la función $g(x)=x^{2}-2$.

Un punto fijo $p$ para $g$ tiene la propiedad de que:

$p=g(p)=p^{2}-2$ lo cual implica que $0=p^{2}-p-2=(p+1)(p-2)$.

Un punto fijo para $g$ ocurre precisamente cuando la gráfica de $y=g(x)$ intersecta la gráfica de $y=x$, por lo que $g$ tiene dos puntos fijos, uno en $p=-1$ y en $p=2$. Éstos se muestran en la figura 2.2.

Figura 2.2: Gráfica del ejemplo 1.

El siguiente teorema ofrece suficientes condiciones para la existencia y unicidad de un punto fijo.

Theorem 1  

(i)

Si $g\in c[a,b] \forall x\in[a,b]$, entonces $g$ tiene al menos un punto fijo en $[a,b]$.

(ii)

Y si además $g'(x)$ existe en $(a,b)$ y existe una constante positiva $k<1$ con

$$\vert g'(x)\leq k \forall x\in [a,b]$$

entonces hay exactamente un punto fijo en $[a,b]$.

Figura 2.3: Demostración del Teorema

Ejemplo 2.

Demuestre que $g(x)=(x^{2}-1)/3$ tiene un punto fijo único en el intervalo $[-1,1]$.

Los valores máximo y mínimo de $g(x)$ para $x\in[-1,1]$ debeb ocurrir cuando es un extremo del intervalo o cuando la derivada es cero. Dado que, $g'(x)=2x/3$, la función $g$ es contínua y $g'(x)$ existe en $[-1,1]$. Los valores máximo y mínimo de $g(x)$ ocurren en $x=1$, $x=0$ o $x=1$. Pero $g(-1)=0$, $g(1)=0$ y $g(0)=-1/3$, por lo que un máximo absoluto para $g(x)$ en $[-1,1]$ ocurre en $x=-1$ y $x=1$ y un mínimo absoluto ocurre en $x=0$.

Además:

$$\vert g'(x)\vert={\left\vert 2x\over 3\right\vert} \leq {2\over 3}, \forall x\in (-1, 1)$$

Por lo tanto $g$ satisface las hipótesis del teorema 1 y tiene un punto fijo único en $[-1,1]$.

Dicho punto fijo puede determinarse algebraicamente de la siguiente forma:

$$p=g(p)={p^{2}-1\over 3} \Rightarrow p^{2}-3p-1=0$$

$$p_{1}=-0.30278$$

$$p_{2}=3.30278$$

Figura 2.4: Gráfica del ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Demuestre que el teorema 1 no asegura un punto fijo único de $g(x)=3^{-x}$ en el intervalo $[0,1]$ aún cuando exista un único punto fijo en este intervalo.

Puesto que $g'(x)=-3^{-x}ln 3 <0$ en $[0,1]$ la función $g$ es estrictamente decreciente en $[0,1]$. Por lo tanto:

$$g(1)={1\over 3} \leq g(x)\leq 1 = g(0), \forall 0\leq x\leq 1$$

Así, para $x\in [0,1]$, tendremos $g(x)\in [0,1]$. La primera parte del teorema 1 garantiza que existe al menos un punto fijo en $[0,1]$. No obstante:

$$g'(0)=-ln 3 = -1.098612289$$

así que $\vert g'(x)\vert\not\leq 1$ en $(0,1)$, y no se puede utilizar el teorema 1 para determinar unicidad. Pero, $g$ siempre es decreciente y en la figura 2.5 se observa claramente que el punto fijo debe ser único.

Figura 2.5: Gráfica del ejemplo 3.