Método de Bisección

La primera técnica, que se basa en el teorema del valor intermedio, se conoce con el nombre de método de bisección o de búsqueda binaria.

Supongamos que $f$ es una función contínua definida en el intervalo $[a,b]$ con $f(a)$ y $f(b)$ de signos diferentes. De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe un número p en (a,b), por razones de simplicidad supondremos que la raíz de este intervalo es única. Éste método requiere dividir varias veces a la mitad (o bisectar) los subintervalos de $[a,b]$ y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a $p$.

Para empezar, supongamos que $a_{1} = b$ y $b_{1} = b$, y sea $p_{1}$ el punto medio de $[a,b]$; es decir:

$$p_{1} = a_{1} + {b_{1} - a_{1}\over 2} = {a_{1} + b_{1}\over 2}$$

• Si $f(p_{1}) = 0$, entonces $p = p_{1}$ y queda hecho.
• Si $f(p_{1}) \not= 0$, entonces $f(p_{1})$ tiene el mismo signo que $f(a_{1})$ o $f(b_{1})$ (dado que $a_{1}$ y $b_{1}$ tienen signos diferentes).
  • Si $f(p_{1})$ y $f(a_{1})$ tienen el mismo signo, entonces $p \in (p_{1}, b_{1})$ y entonces $a_{2} = p_{1}$ y $b_{2} = b_{1}$
  • Si $f(p_{1})$ y $f(a_{1})$ tienen signos opuestos, entonces $p \in (a_{1}, p_{1})$ y entonces $a_{2} = a_{1}$ y $b_{2} = p_{1}$

Figura 2.1: Método de la Bisección

Después volvemos a aplicar el proceso al intervalo $[a_{2}, b_{2}]$, observe la figura 2.1. Esto nos da el método que se describe en el algoritmo 1.

A continuación describiremos otros procedimientos de paro que pueden aplicarse en la condición de la línea 7 en el algoritmo 1. Utilizaremos una tolerancia $\varepsilon > 0$ y valores $p_{1}, p_{2}, ..., p_{N}$ hasta que se cumplan alguna de las siguientes condiciones:

$$\vert p_{N} - p_{N-1}\vert<\varepsilon$$

$${\vert p_{N} - p_{N-1}\vert\over \vert p_{N}\vert}<\varepsilon$$

$$\vert f(p_{N})\vert < \varepsilon$$

Ejemplo 1.

Demuestre que $f(x)=4 - x^{2}$ tiene una raíz en el intervalo $[0, 20]$ y utlice el método de bisección para determinar una aproximación a la raíz que sea precisa al menos hasta $10^{-4}$.

Ejemplo 2.

Demuestre que $f(x)=x^{3}+4x^{2}-10$ tiene una raíz en el intervalo $[1, 2]$ y utlice el método de bisección para determinar una aproximación a la raíz que sea precisa al menos hasta $10^{-4}$.